首页 > 在平面直角坐标系xOy中，点An满足OA1=(0，1)，且AnAn+1=(1，1)；点Bn满足OB1=(3，0)，且BnBn+1=(3•(23)n，0)，其中n∈N*．（1）求OA2的坐标，并证明点A

在平面直角坐标系xOy中，点An满足OA1=(0，1)，且AnAn+1=(1，1)；点Bn满足OB1=(3，0)，且BnBn+1=(3•(23)n，0)，其中n∈N*．（1）求OA2的坐标，并证明点A

题目简介

在平面直角坐标系xOy中，点An满足OA1=(0，1)，且AnAn+1=(1，1)；点Bn满足OB1=(3，0)，且BnBn+1=(3•(23)n，0)，其中n∈N*．（1）求OA2的坐标，并证明点A

题目详情

在平面直角坐标系xOy中，点An满足
OA1
=(0，1)，且
AnAn+1
=(1，1)；点Bn满足
OB1
=(3，0)，且
BnBn+1
=(3•(
2
3
)n，0)，其中n∈N*．
（1）求
OA2
的坐标，并证明点An在直线y=x+1上；
（2）记四边形AnBnBn+1An+1的面积为an，求an的表达式；
（3）对于（2）中的an，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有an＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：普陀区一模

答案

（1）由已知条件得，
A1A2
=(1，1)，
A1A2
=
OA2
-
OA1
，∴
OA2
=(1，2)，
∵
AnAn+1
=(1，1)，∴
OAn+1
-
OAn
=(1， 1)
设
OAn
=(xn，yn)，则xn+1-xn=1，yn+1-yn=1
∴xn=0+（n-1）•1=n-1；yn=1+（n-1）•1=n．
即An=（n-1，n）满足方程y=x+1，∴点An在直线y=x+1上．
（2）由（1）得An（n-1，n），
BnBn+1
=
OBn+1
-
OBn
=(3•(class="stub"2
3
) n，0)，
设Bn（un，vn），则u1=3，v1=0，vn+1-vn=0，∴vn=0，
un+1-un=3•(class="stub"2
3
)n，逐差累和得，un=9(1-(class="stub"2
3
)n)，
∴Bn(9(1-(class="stub"2
3
)n)，0)．
设直线y=x+1与x轴的交点P（-1，0），则an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=class="stub"1
2
[10-9(class="stub"2
3
)n+1](n+1)-class="stub"1
2
[10-9(class="stub"2
3
)n]nan=5+(n-2)(class="stub"2
3
)n-1，n∈N*．
（3）由（2）an=5+(n-2)(class="stub"2
3
)n-1，n∈N*
an+1-an=[5+(n-1)(class="stub"2
3
)n]-[5+(n-2)(class="stub"2
3
)n-1]=class="stub"4-n
3
(class="stub"2
3
)n-1，
于是，a1＜a2＜a3＜a4=a5，a5＞a6＞a7＞…
数列{an}中项的最大值为a4=a5=5+class="stub"16
27
，则P＞5class="stub"16
27
，即最小的正整数p的值为6，
所以，存在最小的自然数p=6，对一切n∈N*都有an＜p成立．

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