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已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且与x轴有唯一的交点（-1，0）．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，记此函数的最小

题目简介

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且与x轴有唯一的交点（-1，0）．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，记此函数的最小

题目详情

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且与x轴有唯一的交点（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，记此函数的最小值为g（k），求g（k）的解析式．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），
且与x轴有唯一的交点（-1，0）．
∴c=1，-class="stub"b
2a
=-1，b2-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
从而f（x）=x2+2x+1；
（Ⅱ）F（x）=x2+（2-k）x+1，对称轴为x=class="stub"k-2
2
，图象开口向上
当class="stub"k-2
2
≤-2即k≤-2时，F（x）在[-2，2]上单调递增，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（-2）=2k+1
当-2＜class="stub"k-2
2
≤2即-2＜k≤6时，F（x）在[-2，class="stub"k-2
2
]上递减，在[class="stub"k-2
2
，2]上递增
此时函数F（x）的最小值g(k)=F(class="stub"k-2
2
)=-
k_-4k
4
；
当class="stub"k-2
2
＞2即k＞6时，F（x）在[-2，2]上单调递减，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k；
综上，函数F（x）的最小值g（k）=
2k+1，k≤-2
-
k2-4k
4
，-2＜k≤6
9-2k，k＞6
．

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