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设函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2有f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)•f(x1-x22)，且f(π2)=0，f（π）=-1．（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）是偶函数，且

题目简介

设函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2有f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)•f(x1-x22)，且f(π2)=0，f（π）=-1．（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）是偶函数，且

题目详情

设函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2有f(x1)+f(x2)=2f(
x1+x2
2
)•f(
x1-x2
2
)，且f(
π
2
)=0，f（π）=-1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数，且f（π-x）+f（x）=0；
（3）若-
π
2
＜x＜
π
2
时，f（x）＞0，求证：f（x）在（0，π）上单调递减．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x1=x2=π，可得2f（π）=2f（π）f（0），
∵f（π）=-1，
∴得f（0）=1．
（2）令x1=x，x2=-x，可得f（x）+f（-x）=2f（x）•f（0）
∵f（0）=1∴f（x）=f（-x）
∴f（x）是偶函数；
令x1=π，x2=0，可得f(π)+f(0)=2f(class="stub"π
2
)f(class="stub"π
2
)
又∵f（0）=1，f（π）=-1∴f（0）+f（π）=0
∴得f(class="stub"π
2
)=0
令x1=x， x2=π-x，可得f(x)+f(π-x)=2f(class="stub"π
2
)f(class="stub"2x-π
2
)=0
∴f（π-x）+f（x）=0．
（3）任取x1，x2∈（0，π），且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(π-x2)=2f(
x1-x2+π
2
)•f(
x1+x2-π
2
)
∵x1，x2∈（0，π）∴0＜
x1-x2+π
2
＜class="stub"π
2
，-class="stub"π
2
＜
x1+x2-π
2
＜class="stub"π
2

由题意知-class="stub"π
2
＜x＜class="stub"π
2
时，f（x）＞0，
∴f(
x1-x2+π
2
)＞0且f(
x 1+ x2-π
2
)＞0
故f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x）在（0，π）上单调递减．

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