．已知定义在上的奇函数和偶函数满足若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________。-高三数学

题目简介

．已知定义在

上的奇函数

和偶函数

满足

若不等式

对

恒成立，则实数

的取值范围是________。

题型：填空题难度：中档来源：不详

分析：先根据函数奇偶性定义，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将这个表达式不等式af（x）+g（2x）≥0，通过变形可得a≥-

，再通过换元，讨论出右边在x∈（0，1]的最大值，可以得出实数a的取值范围．
解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2x，结合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2-x，
∴f（x）=

（2x-2-x），g（x）=

（2x+2-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化简为

(2x-2 -x) +

(2 2x+2-2x) ≥0
∵0＜x＜1
∴0＜2x＜2-2-x＜1
因此将上面不等式整理，得：a≥-

令t=2x-2-x，则t＞0
∴-

=-(t+

)≤ -2

因此，实数a的取值范围是a≥- 2

故答案为[-2

，+∞)