首页 > 下列命题：（1）若函数f(x)=lg(x+x2+a)为奇函数，则a=1；（2）函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；（3）方程lgx=sinx有且只有三个实数根；（4）对于函数f(x

下列命题：（1）若函数f(x)=lg(x+x2+a)为奇函数，则a=1；（2）函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；（3）方程lgx=sinx有且只有三个实数根；（4）对于函数f(x

题目简介

下列命题：（1）若函数f(x)=lg(x+x2+a)为奇函数，则a=1；（2）函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；（3）方程lgx=sinx有且只有三个实数根；（4）对于函数f(x

题目详情

下列命题：
（1）若函数f(x)=lg(x+
x2+a
)为奇函数，则a=1；
（2）函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）方程lgx=sinx有且只有三个实数根；
（4）对于函数f(x)=
x
，若0＜x1＜x2，则f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
以上命题为真命题的是______．（将所有真命题的序号填在题中的横线上）
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f(x)=lg(x+
x2+a
)为奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=lg(0+
0+a
)=lg
a
=0，
∴
a
=1，即a=1；
（2）∵f（x）=|1+sinx+cosx|=|1+
2
sin(x+class="stub"π
4
)|，
又由y=
2
sin(x+class="stub"π
4
)的周期是2π，将其函数图象上移一个单位后得到y=
2
sin(x+class="stub"π
4
)+1的图象，
然后再将X轴下方的图象沿X轴旋转180°，得到f（x）=1+
2
sin(x+class="stub"π
4
)|的图象，
∴函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）作出y=lgx与y=sinx的图象，由于y=lgx在（0，∞）上为增函数且l，g10=1，lg1=0，
故在区间（0，π）内y=lgx与y=sinx有一个交点，在（π，2π）内无交点，在（2π，3π）内有三个交点，
∴方程lgx=sinx有且只有三个实数根；
  
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（4）∵函数f(x)=
x
是单调递增的凸函数，∴在0＜x1＜x2，则f(
x1+x2
2
)＞
f(x1)+f(x2)
2
，
∴若0＜x1＜x2，则f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
是错误的；
故答案为（1）（2）（3）．

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