已知函数f(x)=ax2+2x-1x的定义域恰为不等式log2(x+3)+log12x≤3的解集,且f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=ax2+2x-1x的定义域恰为不等式log2(x+3)+log12x≤3的解集,且f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
ax2+2x-1
x
的定义域恰为不等式log2(x+3)+log
1
2
x≤3的解集,且f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由log2(x+3)+logclass="stub"1
2
x≤3得
log2class="stub"x+3
x
≤3
x>0
class="stub"x+3
x
≤8
x>0
x≥class="stub"3
7

即f(x)的定义域为[class="stub"3
7
,+∞).
∵f(x)在定义域[class="stub"3
7
,+∞)内单调递减,
∴当x2>x1≥class="stub"3
7
时,f(x1)-f(x2)>0恒成立,即有(ax1-class="stub"1
x1
+2)-(ax2-class="stub"1
x2
+2)>0⇔a(x1-x2)-(class="stub"1
x1
-class="stub"1
x2
)>0⇔(x1-x2)(a+class="stub"1
x1x2
)>0恒成立.
∵x1<x2,∴(x1-x2)(a+class="stub"1
x1x2
)>0⇔a+class="stub"1
x1x2
<0.
∵x1x2>class="stub"9
49
⇒-class="stub"1
x1x2
>-class="stub"49
9

要使a<-class="stub"1
x1x2
恒成立,
则a的取值范围是a≤-class="stub"49
9

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