如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=12AB，连接D1E1，E1F1，F1D1，可得△D1E1F1．（1）用S表示△AD1F1的

题目简介

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁，E₁，F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=

AB，连接D₁E₁，E₁F₁，F₁D₁，可得△D₁E₁F₁．
（1）用S表示△AD₁F₁的面积S₁=

，△D₁E₁F₁的面积S₁′=

；
（2）当D₂，E₂，F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=

AB时，如图②，求△AD₂F₂的面积S₂和△D₂E₂F₂的面积S₂′；
（3）按照上述思路探索下去，当D_n，E_n，F_n分别是等边△ABC三边上的点，且AD_n=BE_n=CF_n=

n+1

时（n为正整数），求△AD_nF_n的面积S_n，△D_nE_nF_n的面积S_n′．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）设等边△ABC的边长是a，
∵AD1=AF1，∠A=60°，
∴△AD1F1是等边三角形，
同理其余三个三角形都是等边三角形，
∴△AD1F1≌△BE1D1≌△CF1E1≌△D1E1F1，
∴S1=class="stub"1

S，S1'=class="stub"1

S．

（2）设△ABC的边长为a，则△AD2F2的面积S2=class="stub"1

AD2•AF2sin∠A=class="stub"1

•class="stub"1

a•class="stub"2

a•sin60°=

9×2

，
又因为△ABC的面积S=

a2，所以S2=class="stub"2

S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
又∵AD2=BE2=CF2，AF2=BD2=CE2，
由“SAS”得出△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，
∴S2′=S-3S2=S-3×class="stub"2

S=class="stub"1

S．

（3）设△ABC的边长是a，
则Sn=class="stub"1

•class="stub"1

n+1

a•class="stub"n

n+1

a•sin60°=class="stub"n

(n+1)2

S，
同理证明△ADnFn≌△BEnDn≌△CFnEn，
∴Sn′=S-3×class="stub"n

(n+1)2

S=class="stub"n2-n+1

(n+1)2

S．