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已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=11，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标-数学

题目简介

已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=11，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标-数学

题目详情

已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系．
（3）求直线l：x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．
题型：解答题难度：中档来源：连云港二模

答案

（1）设M=
ab
cd
，则
ab
cd
1
1
=8
1
1
=
8
8
，
故
a+b=8
c+d=8.
ab
cd
-1
2
=
-2
4
，
故
-a+2b=-2
-c+2d=4.

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=
62
44
．
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，
故其另一个特征值为λ=2．
设矩阵M的另一个特征向量是e2=
x
y
，
则M e2=
6x+2y
4x+4y
=2
x
y
，
解得2x+y=0．
（3）设点（x，y）是直线l上的任一点，
其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），
则
62
44
x
y
=
x′
y′
，
即x=class="stub"1
4
x′-class="stub"1
8
y′，y=-class="stub"1
4
x′+class="stub"3
8
y′，
代入直线l的方程后并化简得x′-y′+2=0，
即x-y+2=0．

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