如图，矩形ABCD中，AB="10"cm，BC="6"cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC

题目简介

如图，矩形ABCD中，AB="10" cm，BC="6" cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1 cm/s，运动时间为t s．

（1）设点Q的运动速度为

cm/s．
①当△DPQ的面积最小时，求t的值；
②当△DAP∽△QBP相似时，求t的值．
（2）设点Q的运动速度为a cm/s，问是否存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）①t="6" ②t=－6＋2

（2）①a=

试题分析：（1）①S△DPQ=S矩形ABCD－S△DAP－S△PBQ－S△QCD
=60－

×6×t－

×(10－t)×

t－

×10×(6－

t)
=

t2－3t＋30
=

(t－6)2＋21．
∵0≤t≤10，∴当t="6" s时，S△DPQ的最小值为21 cm2．
②当△DAP∽△QBP相似时，有

．
即

，解得t1=－6＋2

，t2=－6－2

（舍去）．
∴t=－6＋2

时，△DAP∽△QBP．
（2）假设存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，

则AP=t，AQ=at．以下分4种情况进行讨论．
①当∠1＝∠3＝∠4时，有

．
∴

，解得t1=2，t2=18（舍去）．
此时a=

．
②当∠1＝∠3＝∠5时，有∠DPQ＝∠PQD＝∠PDQ＝90°．
此等式不成立．∴不存在这样的a值．
③当∠1＝∠2＝∠4时，有

．
∴

，即有

整理，得5t2－36＋180=0，△＜0，方程无实数解．
∴不存在这样的a值．
④当∠1＝∠2＝∠5时，∵AB∥DC，∴∠1＝∠PDC＞∠5．故不存在这样的a值．
综上所述，存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，此时a=

点评：该题分析时较为复杂，以图形的边长为路程，分析时间的变动，以及角的变化，是常考题。