优课网
首页
数学
语文
英语
化学
物理
政治
历史
生物
首页
> 已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=4an+1an2an+22,且数列{bn}的前n项之和为Tn,求证:
已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=4an+1an2an+22,且数列{bn}的前n项之和为Tn,求证:
题目简介
已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=4an+1an2an+22,且数列{bn}的前n项之和为Tn,求证:
题目详情
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,首项a
1
=1,且对于任意n∈N
+
都有na
n+1
=2S
n
.
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
b
n
=
4
a
n+1
a
n
2
a
n+2
2
,且数列{b
n
}的前n项之和为T
n
,求证:
T
n
<
5
4
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)解法一:由nan+1=2Sn①
得当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1②,
由①-②可得,nan+1-(n-1)an=2(Sn-Sn-1)=2an,
所以nan+1=(n+1)an,
即当n≥2时,
a
n+1
a
n
=
class="stub"n+1
n
,
所以
a
3
a
2
=
class="stub"3
2
,
a
4
a
3
=
class="stub"4
3
,
a
5
a
4
=
class="stub"5
4
,…,
a
n
a
n-1
=
class="stub"n
n-1
,
将上面各式两边分别相乘得,
a
n
a
2
=
class="stub"n
2
,
即
a
n
=
class="stub"n
2
•
a
2
(n≥3),
又a2=2S1=2a1=2,所以an=n(n≥3),
此结果也满足a1,a2,
故an=n对任意n∈N+都成立.…(7分)
解法二:由nan+1=2Sn及an+1=Sn+1-Sn,
得nSn+1=(n+2)Sn,
即
S
n+1
S
n
=
class="stub"n+2
n
,
∴当n≥2时,
S
n
=
S
1
•
S
2
S
1
•
S
3
S
2
•…•
S
n
S
n-1
=1×
class="stub"3
1
×
class="stub"4
2
×
class="stub"5
3
×…×
class="stub"n+1
n-1
=
n(n+1)
2
(此式也适合S1),
∴对任意正整数n均有
S
n
=
n(n+1)
2
,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(此式也适合a1),
故an=n.…(7分)
(Ⅱ)依题意可得
b
n
=
4
a
n+1
a
n
2
a
n+2
2
=
class="stub"4n+4
n
2
(n+2)
2
=
class="stub"1
n
2
-
class="stub"1
(n+2)
2
T
n
=
class="stub"1
1
2
-
class="stub"1
3
2
+
class="stub"1
2
2
-
class="stub"1
4
2
+
class="stub"1
3
2
-
class="stub"1
5
2
+…+
class="stub"1
n
2
-
class="stub"1
(n+2)
2
=1+
class="stub"1
4
-
class="stub"1
(n+1)
2
-
class="stub"1
(n+2)
2
=
class="stub"5
4
-
(n+1)
2
+
(n+2)
2
(n+1)
2
(n+2)
2
<
class="stub"5
4
∴
T
n
<
class="stub"5
4
.…(13分)
上一篇 :
(本小题满分14分)已知数列﹛﹜满足:.(
下一篇 :
在数列中,,则的通项公式为-高一
搜索答案
更多内容推荐
已知直角的三边长,满足(1)在之间插入2011个数,使这2013个数构成以为首项的等差数列,且它们的和为,求的最小值;(2)已知均为正整数,且成等差数列,将满足条件的三角形的面-高三数学
(本小题满分12分)等差数列的各项均为正数,,前项和为,等比数列中,,,是公比为64的等比数列.(Ⅰ)求与;(Ⅱ)证明:.-高三数学
用n个不同的实数可以得到个不同的排列,每个排列为一行,写出一个行的数阵,对第行,记,.例如:用1,2,3,可得数阵如图所示,则=____;那么在用1,2,3,4,5形成的数阵中,=.-高三数学
下表中数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第行第列的数为,则:(Ⅰ);(Ⅱ)表中数共出现次.-高三数学
若称为n个正数a1+a2+…+an的“均倒数”已知数列{an}的各项均为正,且其前n项的“均倒数”为则数列{an}的通项公式为A.B.C.D.-高一数学
数列{a}中,a=,前n项和为,则项数n为A.12B.11C.10D.9-高一数学
已知数列的前项和为.(Ⅰ)计算;(Ⅱ)根据(Ⅰ)所得到的计算结果,猜想的表达式,不必证明.-高二数学
求和=-高一数学
数列的前5项的和是。-高二数学
设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2﹣a1)=b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.-高一数学
数列满足().①存在可以生成的数列是常数数列;②“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件;③若为单调递增数列,则的取值范围是;④只要,其中,则一定存在;其中正确命-高三数学
记直线:()与坐标轴所围成的直角三角形的面积为,则.-高三数学
已知数列{an}满足a1=2,an+1=an-.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=nan·2n,求数列{bn}的前n项和Sn-高一数学
若数列的前项和,则此数列的通项公式为.-高一数学
已知数列满足,且,则的值是()A.B.C.5D.-高一数学
已知数列中,前项和为,且点在一次函数的图象上,则=()A.B.C.D.-高一数学
已知数列满足:,定义使为整数的叫做希望数,则区间[1,2013]内所有希望数的和M=()A.2026B.2036C.32046D.2048-高三数学
已知数列满足:,,,前项和为的数列满足:,又。(1)求数列的通项公式;(2)证明:;-高一数学
(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且满足。(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,数列的前项和为,求证:。-高三数学
(本题满分12分)已知数列的通项公式为,数列的前n项和为,且满足(I)求的通项公式;(II)在中是否存在使得是中的项,若存在,请写出满足题意的一项(不要求写出所有的项);若不存-高三数学
设数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)在数列的每两项之间按照如下规则插入一些数后,构成新数列:与两项之间插入个数,使这个数构成等差数列,其公差为,求数-高三数学
记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2()A.4B.2C.1D.-2-数学
《莱因德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给五人,使每人成等差数列,且使最大的三份之和的是较小的两份之和,则最小-高二数学
数列{an},Sn为它的前n项的和,已知a1=-2,an+1=Sn,当n≥2时,求:an和Sn.-高一数学
已知数列{an},a1=1,an=3n-1an-1(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=log3(an273n),数列{bn}的前n项和为Sn,求数列{bn}的通项公式;
已知数列{an}满足:a1=1,a2=(a≠0),an+2=p·(其中P为非零常数,n∈N*)(1)判断数列{}是不是等比数列?(2)求an;(3)当a=1时,令bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,
数列的通项公式是,若前项和为,则项数为()A.120B.99C.11D.121-高二数学
记项正项数列为,其前项积为,定义为“相对叠乘积”,如果有2013项的正项数列的“相对叠乘积”为,则有2014项的数列的“相对叠乘积”为_______。-高一数学
数列的通项公式是,则它的前51项和是()A.50B.51C.-50D.-51-高一数学
如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,已知第行有个数,两端的数均为,并且相邻两行数之间有一定的关系,则第8行第4个数为________-高二数学
数列的通项公式为,当该数列的前项和达到最小时,等于()A.B.C.D.-高三数学
已知数列的各项均为正数,且满足,.(1)推测的通项公式;(2)若,令,求数列的前项和-高二数学
已知数列{an}的首项a1=35,an+1=3an2an+1,n=1,2,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:对任意的x>0,an≥11+x-1(1+x)2(23n-x),n=1,2,…;(Ⅲ
(本小题满分15分)数列是首项为23,公差为整数的等差数列,且,.求:(1)数列的公差;(2)前项和的最大值;(3)当时,求的最大值.-高二数学
数列的通项公式其前项和,则=_____.-高二数学
(本小题满分12分)已知数列是等差数列,,数列的前n项和是,且.(I)求数列的通项公式;(II)求证:数列是等比数列;-高三数学
数列{an}中,,的前n项和为()。-高三数学
设数列{an}是公差大于零的等差数列,已知a1=2,a3=a22-10.(1)求{an}的通项公式;(2)设数列{bn}是以函数f(x)=4sin2πx的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列
已知函数,且,则()A.0B.C.100D.10200-高三数学
若数列{},(n∈N)是等差数列,则有数列b=(n∈N)也是等差数列,类比上述性质,相应地:若数列{c}是等比数列,且c>0(n∈N),则有d=_____________________(n∈N)也是
已知数列的前项和为,满足,且依次是等比数列的前两项。(1)求数列及的通项公式;(2)是否存在常数且,使得数列是常数列?若存在,求出的值;若不存在,说明理由。-高三数学
数列中,,若有一个形如的通项公式,其中,且,则此通项公式=_____________________(要求写出的数值).-高一数学
在数列中,,前项和,则数列的通项公式为()-高一数学
数列,…的前100项的和为[]A、B、C、D、-高二数学
设是一个公差为(>0)的等差数列.若,且其前6项的和,则=.-高三数学
将石子摆成如图4的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数列第项;第项.-高三数学
数列中,则()A.3.4B.3.6C.3.8D.4-高三数学
定义:若数列{an}对任意的正整数n,都有|an+1|+|an|=d(d为常数),则称{an}为“绝对和数列”,d叫做“绝对公和”,已知“绝对和数列”{an}中,a1=2,“绝对公和”d=2,则其前2
数列的前n项和,则通项公式为()A.B.C.D.-高二数学
已知数列{an}是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,Sn是其前n项和,且4a1,a5,-2成等差数列.(1)求公比q的值;(2)求Tn=a2+a4+a6+…+a2n的值.-高三数学
返回顶部
题目简介
已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=4an+1an2an+22,且数列{bn}的前n项之和为Tn,求证:
题目详情
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
答案
得当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1②,
由①-②可得,nan+1-(n-1)an=2(Sn-Sn-1)=2an,
所以nan+1=(n+1)an,
即当n≥2时,
所以
将上面各式两边分别相乘得,
即an=
又a2=2S1=2a1=2,所以an=n(n≥3),
此结果也满足a1,a2,
故an=n对任意n∈N+都成立.…(7分)
解法二:由nan+1=2Sn及an+1=Sn+1-Sn,
得nSn+1=(n+2)Sn,
即
∴当n≥2时,Sn=S1•
∴对任意正整数n均有Sn=
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(此式也适合a1),
故an=n.…(7分)
(Ⅱ)依题意可得bn=
∴Tn<