首页 > 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x2．（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；（2）求f（x）在区间[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函数解析

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x2．（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；（2）求f（x）在区间[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函数解析

题目简介

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x2．（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；（2）求f（x）在区间[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函数解析

题目详情

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x2．
（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；
（2）求f（x）在区间[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函数解析式；
（3）是否存在整数k，使
f(x)+2kx-9
x
＞0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）
所以：2是函数f（x）的一个周期（2分）
（2）∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z
设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]∴f（x-2k）=（x-2k）2，
即f（x）=（x-2k）2，x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）（6分）
（3）当x∈[2k-1，2k+1]时，
f(x)+2kx-9
x
＞0⇔
x2-2kx+4k2
x
＞0
①当k≥1时，则2k-1≥1，∴x＞0
∴原题等价于x2-2kx+4k2-9＞0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立．
设g（x）=x2-2kx+4k2-9
当k≥1时，对称轴x=k≤2k-1
则g（2k-1）=4k2-2k-8≥0，
解得k≥
1+
33
3
或k≤
1-
33
4
∴整数k≥2（10分）
②当k≤-1时，则2k+1≤-1，∴x＜0，
∴原题等价于x2-2kx+4k2-9＜0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立，
设g（x）=x2-2kx+4k2-9
当k≤-1时，对称轴x=k≥2k+1
则g（2k-1）=4k2-2k-8＞0，
解得
1-
33
3
＜k＜
1+
33
4
∴整数k=-1（14分）
③当k=0时，原命题等价于
x2-9
x
＞0对任意x∈[-1，1]恒成立
当x=1时，则-8＞0显然不成立∴k≠0（15分）
综上所述，所求k的取值范围是[2，+∞）∪-1．（16分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网