首页 > 已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，公比q=2，且a2b2=20，a3b3=56，（1）求an与bn（2）求数列{anbn}的前n项和Tn（3）记Cn=，

已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，公比q=2，且a2b2=20，a3b3=56，（1）求an与bn（2）求数列{anbn}的前n项和Tn（3）记Cn=，

题目简介

已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，公比q=2，且a2b2=20，a3b3=56，（1）求an与bn（2）求数列{anbn}的前n项和Tn（3）记Cn=，

题目详情

已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，公比q=2，且a2b2=20，a3b3=56，
（1）求an与bn
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn
（3）记Cn=，若C1+C2+C3+…+Cn≥m2﹣对任意正整数n恒成立，求实数m 的取值范围．
题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（1）an=2n+1； bn=2n（2）Tn=（2n+1）2n+1+2（3）[﹣，]

试题分析：（1）设{an}的公差为d，根据题意建立关于d与{bn}首项b1的方程组，解之可得b1=d=2，从而得到an与bn的表达式；
（2）由（1）得anbn=（2n+1）2n，利用错位相减法结合等比数列的求和公式，即可算出{anbn}的前n项和Tn的表达式；
（3）根据等差数列的前n项和的表达式，化简得到Cn===，从而利用裂项求和的方法求出C1+C2+C3+…+Cn=1﹣，得到当n=1时它的最小值为．因此原不等式恒成立，即≥m2﹣，解之得﹣≤m≤，可得实数m的取值范围．
解：（1）设{an}的公差为d，则
，解之得b1=d=2
∴数列{an}的通项为an=3+2（n﹣1）=2n+1；数列{bn}的通项为bn=2n
（2）由（1）得anbn=（2n+1）2n
∴Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）2n
两边都乘以2，得2Tn=3×22+5×23+7×24+…+（2n+1）2n+1，
两式相减，得
﹣Tn=6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）2n+1，
=6+﹣（2n+1）2n+1=﹣2+（1﹣2n）2n+1，
∴Tn=（2n+1）2n+1+2
（3）Sn=3n+×2=n2+2n
∴Cn===
由此可得C1+C2+C3+…+Cn=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣
因此，当n=1时，C1+C2+C3+…+Cn的最小值为
∵不等式C1+C2+C3+…+Cn≥m2﹣对任意正整数n恒成立，
∴≥m2﹣，解之得﹣≤m≤，即实数m的取值范围是[﹣，]．
点评：本题给出等差、等比数列，求它们的通项公式并求{anbn}的前n项和Tn的表达式，讨论与之有关的不等式恒成立的问题．着重考查了等差等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法与裂项求和的方法和不等式恒成立等知识点，属于中档题．

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