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> 为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量-高三数学
为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量-高三数学
题目简介
为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量-高三数学
题目详情
为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从
A
孔流入,经沉淀后从
B
孔流出,设箱体的长度为
a
米,高度为
b
米,已知流出的水中该杂质的质量分数与
a
、
b
的乘积
ab
成反比,现有制箱材料60平方米,问当
a
、
b
各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(
A
、
B
孔的面积忽略不计)?
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
当
a
=6,
b
=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法一:设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为
y
,则由条件
y
=
(
k
>0为比例系数)其中
a
、
b
满足2
a
+4
b
+2
ab
="60 " ①
要求
y
的最小值,只须求
ab
的最大值.
由①(
a
+2)(
b
+1)=32(
a
>0,
b
>0)且
ab
=30–(
a
+2
b
)
应用重要不等式
a
+2
b
=(
a
+2)+(2
b
+2)–4≥
∴
ab
≤18,当且仅当
a
=2
b
时等号成立
将
a
=2
b
代入①得
a
=6,
b
=3.
故当且仅当
a
=6,
b
=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二:由2
a
+4
b
+2
ab
=60,得
,
记
(0<
a
<30)则要求
y
的最小值只须求
u
的最大值.
由
,令
u
′=0得
a
=6
且当0<
a
<6时,
u
′>0,当6<
u
<30时
u
′<0,
∴
在
a
=6时取最大值,此时
b
=3.
从而当且仅当
a
=6,
b
=3时,
y
=
取最小值.
上一篇 :
已知x、y满足约束条件,则的最小
下一篇 :
若,则的最小值是_____________
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答案
要求y的最小值,只须求ab的最大值.
由①(a+2)(b+1)=32(a>0,b>0)且ab=30–(a+2b)
应用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥
∴ab≤18,当且仅当a=2b时等号成立
将a=2b代入①得a=6,b=3.
故当且仅当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二:由2a+4b+2ab=60,得
记
由
且当0<a<6时,u′>0,当6<u<30时u′<0,
∴
从而当且仅当a=6,b=3时,y=