首页 > 如图，矩形ABCD的4个顶点都在圆O上，将矩形ABCD绕点0按顺时针方向旋转α度，其中0°＜α≤90°，旋转后的矩形落在弓形AD内的部分可能是三角形（如图1）、直角梯形（如图2）、矩形（如图-数学

如图，矩形ABCD的4个顶点都在圆O上，将矩形ABCD绕点0按顺时针方向旋转α度，其中0°＜α≤90°，旋转后的矩形落在弓形AD内的部分可能是三角形（如图1）、直角梯形（如图2）、矩形（如图-数学

题目简介

如图，矩形ABCD的4个顶点都在圆O上，将矩形ABCD绕点0按顺时针方向旋转α度，其中0°＜α≤90°，旋转后的矩形落在弓形AD内的部分可能是三角形（如图1）、直角梯形（如图2）、矩形（如图-数学

题目详情

如图，矩形ABCD的4个顶点都在圆O上，将矩形ABCD绕点0按顺时针方向旋转α度，其中0°＜α≤90°，旋转后的矩形落在弓形AD内的部分可能是三角形（如图1）、直角梯形（如图2）、矩形（如图3）．已知AB=6，AD=8．

（1）如图3，当α=______度时，旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形，此时该矩形的周长是______；
（2）如图2，当旋转后的矩形落在弓形内的部分是直角梯形时，设A2D2、B2C2分别与AD相交于点为E、F，求证：A2F=DF，AE=B2E；
（3）在旋转过程中，设旋转后的矩形落在弓形AD内的部分为三角形、直角梯形、矩形时所对应的周长分别是cl、c2、c3，圆O的半径为R，当c1+c2+c3=5R时，求c1的值；
（4）如图1，设旋转后A1B1、A1D1与AD分别相交于点M、N，当旋转到△A1MN正好是等腰三角形时，判断圆O的直径与△A1MN周长的大小关系，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当α=90°时，旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形，
此时该矩形的周长是6×2+（8-6）=14．

（2）①如图，连接A2D，
∵
AA2
=
DD2
，
∴∠ADA2=∠DA2D2；
∴A2F=DF．
②如图，连接AB2∵AD=B2C2，
∴
AD
=
B2C2
；
∴
AD
-
AB2
=
B2C2
-
AB2
；
∴
DB2
=
AC2
；
∴∠AB2C2=∠DAB2；
∴AE=B2E．

（3）由（1）（2）得C2=8，C3=8
∵AB=6，AD=8，∠A=90°，
∴R=5，
当C1+C2+C3=5R时，C1=9；

（4）如图，设A1B1交AB于P，A1M=a，AM=b，
∵△A1MN正好是等腰三角形，∠A1=90°，
∴∠A1NM=∠A1MN=∠AMP=45°；
∴MN=
a2+a2
=
2
a，
∴AD=AM+MN+ND=b+
2
a+a=8…（一）；
同（1）①可证AP=B1P；
∴A1B1=A1M+MP+PB1=a+
2
b+b=6…（二）；
（二）-（一）得：
2
a-
2
b=2；
∴a-b=
2
，即A1M-AM=
2
；
∴△A1MN的周长=AD+
2
=8+
2
；
而⊙O的直径为10，
∴⊙O的直径与△A1MN的周长差为10-（8+
2
）=2-
2
＞0；
∴⊙O的直径大于△A1MN的周长．

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