若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点。（1）若点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为____
题目简介
若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点。（1）若点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为____
题目详情
（1）若点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为______，
（2）如图，在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACB′，连接BB′，求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′= PA+PB+PC。
答案
连接AP，再在PB′上截取PE=PC，连接CE，如图所示，
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE是正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°，
∵△ACB′为正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB′=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B'EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点，
∴BB′过△ABC的费马点P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC。