已知函数f(x)的定义域为R,且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-)=0,当x>-时,f(x)>0.(1)求证:f(x)是单调递增函数;(2)试举出具有这种性

题目简介

已知函数f(x)的定义域为R,且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-)=0,当x>-时,f(x)>0.(1)求证:f(x)是单调递增函数;(2)试举出具有这种性

题目详情

已知函数f(x)的定义域为R,且对mn∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-)=0,当x>-时,f(x)>0.
(1)求证:f(x)是单调递增函数;
(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明略,(2)f(x)=2x+1
x1<x2,则x2-x1->-,由题意f(x2-x1-)>0,
f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-)-1=f[(x2-x1)-]>0,
f(x)是单调递增函数.                                    
(2)解: f(x)=2x+1。 验证过程略.

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