首页 > 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.(1)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；(2)求

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.(1)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；(2)求

题目简介

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.(1)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；(2)求

题目详情

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.
(1)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；
(2)求点C到平面B1DP的距离．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）；（2）见解析.
本试题主要考查了立体几何中二面角的求解和点到面的距离的综合运用。
解：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0，1,0)，B(1,0,1)．D(0,1,)

设平面BA1D的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
解得
取,得n1＝(2，－1，2)．
又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，
∴cos〈n1·n2〉＝＝＝.
故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.
(3)∵＝(1，－2,0)，＝，
设平面B1DP的一个法向量为n3＝(a1，b1，c1)．

令c1＝1，可得n3＝.
又＝，
∴C到平面B1DP的距离d＝＝.

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