（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点，（1）证明：EF∥

题目简介

（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点，
（1）证明：EF∥面PAD；
（2）证明：面PDC⊥面PAD；
（3）求锐二面角B—PD—C的余弦值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）如图，连接AC，

∵ABCD为矩形且F是BD的中点，
∴AC必经过F 1分
又E是PC的中点，
所以，EF∥AP 2分
∵EF在面PAD

外，PA在面内，∴EF∥面PAD 4分
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD

面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP

面PAD，∴AP⊥CD 6分
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD 7分
又AD

面PAD，所以，面PDC⊥面PAD 8分
（3）由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则
A（1，0，0），P（0，0，1） 9

分
由（2）知

是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），

，

10分
设面BPD的法向量

，
由

得

取

，则

，
向量

和

的夹角的余弦

11分
所以，锐二面角B—PD—C的余弦值

12分

略