首页 > 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设∠AOD=α．（1）当α等于多少度时，四边形E

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设∠AOD=α．（1）当α等于多少度时，四边形E

题目简介

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设∠AOD=α．（1）当α等于多少度时，四边形E

题目详情

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设∠AOD=α．
（1）当α等于多少度时，四边形EDBC是等腰梯形？并求此时AD的长；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）解法一：当∠α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形．（1分）
当∠α=30°时，∠EDB=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，AB=4，（2分）
在等腰梯形EDBC中，过点C作DB的垂线CF，
则BF=class="stub"1
2
BC=1，
∴DB=1+1+EC，（3分）
所以AB=AD+DB=AD+2+EC，又AD=EC，
所以AB=2+2AD，即4=2+2AD，所以AD=1（4分）
解法二：当∠α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形．（1分）
∴ED=BC=2
∵CE∥AB
∴∠A=∠ECA
∵点O是AC的中点
∴OA=OC
又∵∠α=∠EOC
∴△EOC≌△DOA（2分）
∴OD=OE=class="stub"1
2
ED=1（3分）
∵∠A=∠α=30°
∴AD=OD=1；（4分）

（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．
证明：∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED．
∵CE∥AB，∴四边形EDBC是平行四边形．（5分）
在Rt△ABC中，由（1）中解法一知：AB=4，由勾股定理得：AC=2
3
，
∴AO=class="stub"1
2
AC=
3
，
∵∠α=∠ACB=90°
∴OD∥BC，
∵O为AC中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=class="stub"1
2
AB=2
∴BD=4-2=2，
∴BD=BC=2，（7分）
∴平行四边形EDBC是菱形．（8分）

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