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已知对任意正整数n都有a1+a2+a3+…+an=n3，则1a2-1+1a3-1+1a4-1+…+1a2011-1=______．-数学

题目简介

已知对任意正整数n都有a1+a2+a3+…+an=n3，则1a2-1+1a3-1+1a4-1+…+1a2011-1=______．-数学

题目详情

已知对任意正整数n都有a1+a2+a3+…+an=n3，则
1
a2-1
+
1
a3-1
+
1
a4-1
+…+
1
a2011-1
=______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵a1+a2+a3+…+an=n3，
∴a1=1，a1+a2=8，a1+a2+a3=27，a1+a2+a3+a4=64，a1+a2+a3+a4+a5=125，
∴a2=7，a3=19，a4=37，a5=61，an=3n（n-1）+1，
∴a2011=3×2010×2011+1，
∴class="stub"1
a2-1
+class="stub"1
a3-1
+class="stub"1
a4-1
+…+class="stub"1
a2011-1
=class="stub"1
6
+class="stub"1
18
+class="stub"1
36
+class="stub"1
60
+…+class="stub"1
3×2010×2011
，
=class="stub"1
3
（class="stub"1
2
+class="stub"1
6
+class="stub"1
12
+class="stub"1
20
+…+class="stub"1
2010×2011
），
=class="stub"1
3
（1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
+class="stub"1
4
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2010
-class="stub"1
2011
），
=class="stub"1
3
（1-class="stub"1
2011
），
=class="stub"670
2011
．
故答案为：class="stub"670
2011
．

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