x，y为正整数，且两个分数之和x2-1y+1+y2-1x+1也是整数，求证：这两个分数都是整数．-数学

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x，y为正整数，且两个分数之和

x2-1

y+1

y2-1

x+1

也是整数，求证：这两个分数都是整数．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：两个数的和为自然数，则这两个数要么都是分数，要么都是整数（在此题中为自然数）；
对于

x2-1

y+1

与

y2-1

x+1

的积有：

x2-1

y+1

y2-1

x+1

=（x-1）×（y-1），
由于x与y是自然数，那么（x-1）×（y-1）也是自然数，
对于两个分数的乘积，可写成：（a+class="stub"1

）×（b+class="stub"1

）=ab+class="stub"a

+class="stub"b

+class="stub"1

，其中a、b、m、n均为整数，
由于class="stub"1

的存在，所以若两个数相乘得到的结果是整数，那么它们中至少有一个是整数，
对于本题而言，由于

x2-1

y+1

y2-1

x+1

=（x-1）×（y-1）为整数，
因此他们中至少有一个是整数，
又∵在（i）中知

x2-1

y+1

与

y2-1

x+1

要么同为整数，要么同为分数，
因此可得出结论：

x2-1

y+1

与

y2-1

x+1

都是整数．

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x，y为正整数，且两个分数之和x2-1y+1+y2-1x+1也是整数，求证：这两个分数都是整数．-数学

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