设矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标伸长到原来的2倍的伸压变换矩阵.(1)求逆矩阵M-1;(2)求椭圆x29+y24=1在矩阵M-1作用下变换得到的新曲线的方程.-数学

题目简介

设矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标伸长到原来的2倍的伸压变换矩阵.(1)求逆矩阵M-1;(2)求椭圆x29+y24=1在矩阵M-1作用下变换得到的新曲线的方程.-数学

题目详情

设矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标伸长到原来的2倍的伸压变换矩阵.
(1)求逆矩阵M-1
(2)求椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
在矩阵M-1作用下变换得到的新曲线的方程.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)M-1=
class="stub"1
3
0
0class="stub"1
2
.(5分)
(2)任意选取椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
上的一点P(x0,y0),它在矩阵M-1=
class="stub"1
3
0
0class="stub"1
2

对应的变换下变为P'(x0′,y0′),则有
class="stub"1
3
0
0class="stub"1
2
x0
y0
=
x′0
y′0
,故
x0=3
x′0
y0=2
y′0

又因为点P在椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
上,所以
x20
9
+
y20
4
=1
,即有
9
x′0
2
9
+
4
y′0
2
4
=1

因此x0'2+y0'2=1.
从而椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1.(10分)

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