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已知函数f（x）=3sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，（Ⅰ）求f（x）的解析式及和最小正周期；（Ⅱ）求f（x）对称轴方程和单调递增区间（Ⅲ）求

题目简介

已知函数f（x）=3sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，（Ⅰ）求f（x）的解析式及和最小正周期；（Ⅱ）求f（x）对称轴方程和单调递增区间（Ⅲ）求

题目详情

已知函数f（x）=
3
sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
（Ⅰ）求f（x）的解析式及和最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）对称轴方程和单调递增区间
（Ⅲ）求f（x）在区间[-
π
6
，
π
2
]上的最大值和最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵函数f（x）=
3
sinωx+cosωx=2sin（ωx+class="stub"π
6
），
∵y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
∴函数的周期是π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+class="stub"π
6
），
（II）∵正弦曲线的对称轴是x=kπ+class="stub"π
2
，k∈z
∴2x+class="stub"π
6
=kπ+class="stub"π
2
，k∈z，
∴函数的对称轴是x=class="stub"kπ
2
+class="stub"π
2
，k∈z，
∵2x+class="stub"π
6
∈[2kπ-class="stub"π
2
，2kπ+class="stub"π
2
] ，k∈z
∴x∈[kπ-class="stub"π
3
，kπ+class="stub"π
6
]  ，k∈z
（III）∵x∈[-class="stub"π
6
，class="stub"π
2
]，
∴2x+class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
6
，class="stub"7π
6
]，
∴2sin（2x+class="stub"π
6
）∈[-class="stub"1
2
，1]
∴f（x）在区间[-class="stub"π
6
，class="stub"π
2
]上的最大值是1，最小值是-class="stub"1
2

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