首页 > 已知函数f（x）=2-（3sinx-cosx）2．（Ⅰ）求f（π3）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间[-π6，π3]上的最大值和最小值．-数学

已知函数f（x）=2-（3sinx-cosx）2．（Ⅰ）求f（π3）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间[-π6，π3]上的最大值和最小值．-数学

题目简介

已知函数f（x）=2-（3sinx-cosx）2．（Ⅰ）求f（π3）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间[-π6，π3]上的最大值和最小值．-数学

题目详情

已知函数f（x）=2-（
3
sinx-cosx）2．
（Ⅰ）求f（
π
3
）的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间[-
π
6
，
π
3
]上的最大值和最小值．
题型：解答题难度：中档来源：海淀区一模

答案

（I）f(class="stub"π
3
)=2-(
3
×
3
2
-class="stub"1
2
)2=2-1=1．
∵函数f（x）=2-（
3
sinx-cosx）2
=2-(3sin2x+cos2x-2
3
sinxcosx)
=2-（1+2sin2x-
3
sin2x)
=1-2sin2x+
3
sin2x
=cos2x+
3
sin2x
=2(
3
2
sin2x+class="stub"1
2
cos2x)
=2sin(2x+class="stub"π
6
)
∴函数f（x）的周期为T=class="stub"2π
2
=π．
（II）当x∈[-class="stub"π
6
，class="stub"π
3
]时，(2x+class="stub"π
6
)∈[-class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
]，
所以当x=-class="stub"π
6
时，函数取得最小值f(-class="stub"π
6
)=-1；
当x=class="stub"π
6
时，函数取得最大值f(class="stub"π
6
)=2．

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