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已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：（cm-ap）2=（bp-cn）（an-bm）．-数学

题目简介

已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：（cm-ap）2=（bp-cn）（an-bm）．-数学

题目详情

已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：（cm-ap）2=（bp-cn）（an-bm）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：∵an-bm≠0
∴方程ax2+bx+c=0和方程mx2+nx+p=0有相等的根．
方程ax2+bx+c=0可化为x2+class="stub"b
a
x+class="stub"c
a
=0   ①
方程mx2+nx+p=0可化为x2+class="stub"n
m
x+class="stub"p
m
=0   ②
把方程①-②可得：（class="stub"b
a
-class="stub"n
m
）x+（class="stub"c
a
-class="stub"p
m
）=0
解方程得：class="stub"bm-an
am
x+class="stub"cm-ap
am
=0
（bm-an）x+（cm-ap）=0
x=class="stub"ap-cm
bm-an

把x=class="stub"ap-cm
bm-an
代入方程ax2+bx+c=0
得：a(class="stub"ap-cm
bm-an
)2+b（class="stub"ap-cm
bm-an
）+c=0
a（ap-cm）2+b（ap-cm）（bm-an）+c（bm-an）2=0
a（ap-cm）2+（bm-an）（abp-bcm+bcm-can）=0
a（ap-cm）2+a（bm-an）（bp-cn）=0
∵a≠0，
∴两边同时除以a得到：（ap-cm）2+（bm-an）（bp-cn）=0
故（ap-cm）2=（bp-cn）（an-bm）．

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