下列几个命题:①不等式3x-1<x+1的解集为{x|x<-2,或x>2};②已知a,b均为正数,且1a+4b=1,则a+b的最小值为9;③已知m2+n2=4,x2+y2=9,则mx+ny的最大值为13

题目简介

下列几个命题:①不等式3x-1<x+1的解集为{x|x<-2,或x>2};②已知a,b均为正数,且1a+4b=1,则a+b的最小值为9;③已知m2+n2=4,x2+y2=9,则mx+ny的最大值为13

题目详情

下列几个命题:
①不等式
3
x-1
<x+1
的解集为{x|x<-2,或x>2};
②已知a,b均为正数,且
1
a
+
4
b
=1
,则a+b的最小值为9;
③已知m2+n2=4,x2+y2=9,则mx+ny的最大值为
13
2

④已知x,y均为正数,且x+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值为7;
其中正确的有______.(以序号作答)
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

不等式class="stub"3
x-1
<x+1
的解集为{x|-2<x<1,或x>2},故①不成立;
∵a,b均为正数,且class="stub"1
a
+class="stub"4
b
=1

a+b=(class="stub"1
a
+class="stub"4
b
)(a+b)=5+class="stub"4a
b
+class="stub"b
a
≥5+2
class="stub"4a
b
•class="stub"b
a
=9,故②正确;
∵m2+n2=4,x2+y2=9,
∴设
m=2sinα
n=2cosα
x=3sinβ
y=3cosβ

则mx+ny=6sinαsinβ+6cosαcosβ=6cos(α-β),
∵-1≤cos(α-β)≤1,
∴mx+ny的最大值的最大值为6,故③不正确;
④∵x,y均为正数,且x+3y-2=0,
∴3x+27y+1≥2
33x33y
+1
=7,故④正确.
故答案为:②④.

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