已知f(x)=exx，给定正的常数k，解不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0．-数学

题目简介

已知f(x)=

，给定正的常数k，解不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0．

题型：解答题难度：中档来源：不详

∵f(x)=

，∴f′（x）=

(ex)′x-ex(x)′

ex(x-1)

，
不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0可化为，

ex(x-1)

+k（1-x）

＞0，即

ex(x-1)+k(1-x)xex

＞0
变形得

ex(x-1)(1-kx)

＞0，即

ex(x-1)(kx-1)

＜0，
只需（x-1）（kx-1）＜0，对应方程的两根分别为1，class="stub"1

当0＜k＜1时，1＜class="stub"1

，解得1＜x＜class="stub"1

；
当k=1时，1=class="stub"1

，不等式无解；
当k＞1时，1＞class="stub"1

，解得class="stub"1

＜x＜1．
故不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集为：
当0＜k＜1时，{x|1＜x＜class="stub"1

}；
当k=1时，空集；
当k＞1时，{x|class="stub"1

＜x＜1}．