已知：如图，△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D为AB延长线上一点，BD=1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形。（1）求证：BC=BP；（2）求点C到BP的距离。

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已知：如图，△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D为AB延长线上一点，BD=1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形。
（1）求证：BC=BP；
（2）求点C到BP的距离。

题型：解答题难度：中档来源：北京市期末题

答案

解：（1）如图，连接PC，
∵AC=1，BD=1，
∴AC=BD，
∵∠BAC=120°，AP平分∠BAC，
∴∠1=∠BAC=60°，
∵△PAD是等边三角形，
∴PA=PD，∠D=60°，
∴∠1=∠D，
∴△PAC≌△PDB，
∴PC=PB，∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，∠BPC=∠DPA=60°，
∴△PBC是等边三角形，BC=BP；
（2）如图，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F，
∵AB=3，BD=1，
∴AD=4，
∴△PAD是等边三角形，PF⊥AB，
∴DF=AD=2，PF=PDsin60°=，
∴BF=DF﹣BD=1，
∴BP=，
∴CE=BCsin60°=BPsin60°=×=，
即点C至BP的距离等于。

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已知：如图，△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D为AB延长线上一点，BD=1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形。（1）求证：BC=BP；（2）求点C到BP的距离。

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