首页 > 如图，在三棱锥中，（1）求证：平面⊥平面（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.-高三数学

如图，在三棱锥中，（1）求证：平面⊥平面（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.-高三数学

题目简介

如图，在三棱锥中，（1）求证：平面⊥平面（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.-高三数学

题目详情

如图，在三棱锥

中，

（1）求证：平面

⊥平面

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为

，求BM的最小值.

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（1）见解析（2）

. （3）

.

（1）本题解决的关键是取线段AC中点O,利用等腰三角形和直角三角形的性质得OP⊥OC，OP⊥OB.由线面垂直的判定定理得OP⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理得平面

⊥平面

.
（2）由（1）得OB、OC、OP两两垂直，可以O为坐标原点建立空间直角坐标系，然后利用
空间向量法求出平面PBC的法向量,再根据直线与平面所成角的向量法求解即可.
(3)在(2)的基础上可知平面PAC的法向量,然后再求出平面PAM的法向量, 则根据这两个法向量夹角的余弦值为为

,求出直线AM的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出B点到AM的最小值.
（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB
∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面

⊥平面

4分
（2）以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,

), 5分
∴

设平面PBC的法向量

，
由

得方程组

，取

6分
∴

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

. 8分
（3）由题意平面PAC的法向量

，设平面PAM的法向量为

∵

又因为

∴

取

∴

∴

11分
∴B点到AM的最小值为垂直距离

.

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