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19．(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中点．(1)求二面角O1－BC－D

题目简介

19．(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中点．(1)求二面角O1－BC－D

题目详情


19． (本小题满分12分)
如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB = 60°的菱形，ACBD = O，A1C1B1D1 = O1，E是O1A的中点．
(1) 求二面角O1－BC－D的大小；
(2) 求点E到平面O1BC的距离．


 
 

 
题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

60°，


解法一：
(1) 过O作OF⊥BC于F，连接O1F，
∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，
∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，········ 3分
∵OB = 2，∠OBF = 60°，∴OF =．
在Rt△O1OF中，tan∠O1FO =
∴∠O1FO="60°" 即二面角O1—BC—D的大小为60°············· 6分
(2) 在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C
∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F．
过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，··········· 10分
∴OH = ∴点E到面O1BC的距离等于················ 12分
解法二：
(1) ∵OO1⊥平面AC，
∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，········· 2分
建立如图所示的空间直角坐标系（如图）
∵底面ABCD是边长为4，∠DAB = 60°的菱形，
∴OA = 2，OB = 2，
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O1（0，0，3）··· 3分
设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，
∴，则z = 2，则x=－，y = 3，
∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）········ 5分
∴ cos<，>=，
设O1－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°．
故二面角O1－BC－D为60°．······················ 6分
(2) 设点E到平面O1BC的距离为d，
∵E是O1A的中点，∴=（－，0，），············· 9分
则d=
∴点E到面O1BC的距离等于．···················· 12分

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