如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1、C1D1的中点,(1)求证:E、F、B、D四点共面;(2)求四边形EFDB的面积.-数学

题目简介

如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1、C1D1的中点,(1)求证:E、F、B、D四点共面;(2)求四边形EFDB的面积.-数学

题目详情

如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1、C1D1的中点,
(1)求证:E、F、B、D四点共面;
(2)求四边形EFDB的面积.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


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(1)证明:如答图所示,连接B1D1,
在△C1B1D1中,C1E=EB1,C1F=FD1,
∴EFB1D1,且EF=class="stub"1
2
B1D1,
又A1A
.
B1B,A1A
.
D1D,∴B1B
.
D1D,
∴四边形BB1D1D是平行四边形.
∴B1D1BD,EFBD,
∴E、F、D、B四点共面
(2)由AB=a,知BD=B1D1=
2
a,EF=
2
2
a,
DF=BE=
B
B21
+B1E2
=
a2+(class="stub"a
2
)
2
=
5
2
a

过F作FH⊥DB于H,则DH=class="stub"DB-EF
2
=
2
4
a

∴FH=
DF2-DH2
=
class="stub"5
4
a2-class="stub"2
16
a2
=
class="stub"18
16
a2
=
3
2
4
a

四边形的面积为SEFBD=class="stub"1
2
(EF+BD)×FH=class="stub"1
2
(
2
2
a+
2
a)×
3
2
4
a
=class="stub"1
2
×
3
2
2
×
3
2
4
a2=class="stub"9
8
a2

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