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已知数列满足,且对一切有,其中,(Ⅰ)求证对一切有，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和;（Ⅲ）求证.-高三数学

题目简介

已知数列满足,且对一切有,其中,(Ⅰ)求证对一切有，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和;（Ⅲ）求证.-高三数学

题目详情

已知数列满足,且对一切有,其中, 
(Ⅰ)求证对一切有，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和;
（Ⅲ）求证. 
题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（Ⅰ）{ an}成等差数列，首项a1=1，公差d=1，故an=n；
（Ⅱ）；（Ⅲ）同解析。
(Ⅰ)由ni=1=Sn2，    (1)        由n＋1i=1=Sn＋12，       (2)
(2)－(1)，得=(Sn+1+Sn)(Sn+1－Sn)=(2 Sn+an+1) an+1．
∵ an+1 >0，∴an＋12－=2Sn．           
由an＋12－=2Sn，及an2－an =2Sn－1 (n≥2)，
两式相减，得(an+1+ an)( an+1－an)= an+1+ an．
∵an+1+ an >0，∴an+1－an =1(n≥2)        
当n=1,2时，易得a1=1，a2=2，∴an+1－ an =1(n≥1)．
∴{ an}成等差数列，首项a1=1，公差d=1，故an=n．
（Ⅱ）由，得。所以，
当时，；
当时，
，

即
（Ⅲ）nk=1=nk=1＜1＋nk=2 
＜１＋nk=2=
=1＋nk=2 (－)       
=1＋1＋－－＜2＋＜3.

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