首页 > 某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为a4元；③拆去1m旧墙，用所得-数学

某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为a4元；③拆去1m旧墙，用所得-数学

题目简介

某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为a4元；③拆去1m旧墙，用所得-数学

题目详情

某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m²的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为

a

4

元；③拆去1m旧墙，用所得材料建造1m新墙的费用为

a

2

元．经过讨论有两种方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形厂房一面的边长；（Ⅱ）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）．问：如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（Ⅰ）（Ⅱ）两种方案哪个更好？

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

设利用旧墙的一面矩形边长为xm，则矩形的另一边长为class="stub"126

x

m．
（Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•class="stub"a

4

元，
将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为（14-x）•class="stub"a

2

元，其余建新墙的费用为（2x+class="stub"2×126

x

-14）•a元．
故总费用为
y=x•class="stub"a

4

+class="stub"14-x

2

•a+（2x+class="stub"252

x

-14）•a=a（class="stub"7

4

x+class="stub"252

x

-7）=7a（class="stub"x

4

+class="stub"36

x

-1）．（0＜x＜14）
∴y≥7a[2

class="stub"x

4

•class="stub"36

x

-1]=35a．当且仅当class="stub"x

4

=class="stub"36

x

，即x=12m时，ymin=35a（元）；
（Ⅱ）若利用旧墙的一面矩形边长为x≥14，则修旧墙的费用为class="stub"a

4

•14=class="stub"7

2

a元，建新墙的费用为（2x+class="stub"252

x

-14）a元．
故总费用为y=class="stub"7

2

a+（2x+class="stub"252

x

-14）a=class="stub"7

2

a+2a（x+class="stub"126

x

-7）（x≥14）．
设14≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2＞196．
则（x1+class="stub"126

x1

）-（x2+class="stub"126

x2

）=（x1-x2）（1-class="stub"126

x1x2

）
∴函数y=x+class="stub"126

x

在区间[14，+∞]上为增函数．
故当x=14时，ymin=class="stub"7

2

a+2a（14+class="stub"126

14

-7）=35.5a＞35a．
综上讨论可知，采用第（Ⅰ）方案，建墙总费用最省，为35a元．

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