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（本题满分12分）某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:①输入1时，输出结果是；②输入整数时，输出结果是将前一结果先乘以3n-5，再除以3n+1.（1）求f(2)-高二数学

题目简介

（本题满分12分）某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:①输入1时，输出结果是；②输入整数时，输出结果是将前一结果先乘以3n-5，再除以3n+1.（1）求f(2)-高二数学

题目详情

（本题满分12分）
某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:
①输入1时，输出结果是

；
②输入整数

时，输出结果

是将前一结果

先乘以3n-5，再除以3n+1.
（1）求f(2),f(3),f(4);
（2）试由（1）推测f(n)（其中

）的表达式，并给出证明.

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）

;

;

.
(2)猜想：

（其中

），以下用数学归纳法证明：见解析。

本试题主要是考查了数列的归纳猜想思想的运用，以及运用数学归纳法求证恒等式的综合运用。
（1）由题设条件知f(1)=

,

=

,对于n令值，然后得到前几个值。
（2）猜想：

（其中

）并运用数学归纳法，运用两步来证明其成立。
解：由题设条件知f(1)=

,

=

,

;

;

. ………………………………3分
(2)猜想：

（其中

）……………………5分
以下用数学归纳法证明：
（1）当

时，

，
所以此时猜想成立。 ………………………………6分
（2）假设

时，

成立
那么

时，

……………9分
所以

时，猜想成立。
由（1）（2）知，猜想：

（其中

）成立。
…………………………12分

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