试比较nn+1与（n+1）n（n∈N*）的大小．当n=1时，有nn+1（n+1）n（填＞、=或＜）；当n=2时，有nn+1（n+1）n（填＞、=或＜）；当n=3时，有nn+1_

题目简介

试比较nn+1与（n+1）n（n∈N*）的大小．当n=1时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；当n=2时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；当n=3时，有nn+1_

题目详情

试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小．
当n=1时，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

当n=1时，nn+1=1，（n+1）n=2，此时，nn+1＜（n+1）n，
当n=2时，nn+1=8，（n+1）n=9，此时，nn+1＜（n+1）n，
当n=3时，nn+1=81，（n+1）n=64，此时，nn+1＞（n+1）n，
当n=4时，nn+1=1024，（n+1）n=625，此时，nn+1＞（n+1）n，
根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．
①当n=3时，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64
即nn+1＞（n+1）n成立．
②假设当n=k时，kk+1＞（k+1）k成立，即：

kk+1

(k+1)k

＞1
则当n=k+1时，

(k+1)k+2

(k+2)k+1

=(k+1)?(class="stub"k+1

k+2

)k+1＞(k+1)?(class="stub"k

k+1

)k+1=