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在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分别为、的中点.(1)求二面角的余弦值;(2)求点到平面的距离.-高二数学

题目简介

在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分别为、的中点.(1)求二面角的余弦值;(2)求点到平面的距离.-高二数学

题目详情

在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分别为、的中点.

(1)求二面角的余弦值;
(2)求点到平面的距离.
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）；（2）．

试题分析：（1）本题中取中点，将会出现许多垂直，这正是我们解题时需要的结果，由于，则，由于平面平面，则平面，是正三角形，则，有了这些垂直后，就可以建立空间直角坐标系（以为原点，分别为轴），写出相应点的坐标，计算所需向量的坐标，设分别是二面角的两个面的法向量，则二面角的余弦值，就等于（或者其相反数，这要通过图形观察确定）；（2）设平面的法向量是，则点以平面的距离为．
试题解析：⑴取中点,连结､.∵,,
∴,.∵平面平面,
平面平面,∴平面,∴.  
如图所示建立空间直角坐标系,则,,,
∴.

∴．
设为平面的一个法向量，
则，
取，则，∴，
又为平面的一个法向量，
，即二面角的余弦值为．
(2)由⑴得,又为平面的一个法向量,,
∴点到平面的距离.

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