首页 > 已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，π3]上的最大值为2．（Ⅰ）求常数m的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3s

已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，π3]上的最大值为2．（Ⅰ）求常数m的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3s

题目简介

已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，π3]上的最大值为2．（Ⅰ）求常数m的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3s

题目详情

已知函数f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，
π
3
]上的最大值为2．
（Ⅰ）求常数m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为
3
3
4
，求边长a．
题型：解答题难度：中档来源：浙江模拟

答案

（1）由于 f(x)=2
3
sinx•cosx+2cos2x+m=2sin(2x+class="stub"π
6
)+m+1，-----（2分）
因为x∈[0 ， class="stub"π
3
]，所以2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
6
 ， class="stub"5π
6
]．-------（3分）
因为函数y=sint在区间[class="stub"π
6
 ， class="stub"π
2
]上是增函数，在区间[class="stub"π
2
 ， class="stub"5π
6
]上是减函数，
所以当2x+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
，即x=class="stub"π
6
时，函数f（x）在区间[0 ， class="stub"π
3
]上取到最大值为2．----（5分）
此时，f(x)max=f(class="stub"π
6
)=m+3=2，得m=-1．-------（6分）
（2）因为f（A）=1，所以2sin(2A+class="stub"π
6
)=1，
即sin(2A+class="stub"π
6
)=class="stub"1
2
，解得A=0（舍去）或A=class="stub"π
3
．----（8分）
因为sinB=3sinC，class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
，所以b=3c．①-------（10分）
因为△ABC面积为
3
3
4
，所以S=class="stub"1
2
bcsinA=class="stub"1
2
bcsinclass="stub"π
3
=
3
3
4
，即bc=3．-----②
由①和②解得b=3，c=1．-------（12分）
因为a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cosclass="stub"π
3
，所以a=
7
．---（14分）

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