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已知向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，23cosωx），设函数f（x）=a•b+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（12，1）

题目简介

已知向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，23cosωx），设函数f（x）=a•b+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（12，1）

题目详情

已知向量
a
=（cosωx-sinωx，sinωx），
b
=（-cosωx-sinωx，2
3
cosωx），设函数f（x）=
a
•
b
+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（
1
2
，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（
π
4
，0）求函数f（x）在区间[0，
3π
5
]上的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：湖北

答案

（1）∵f（x）=
a
•
b
+λ=（cosωx-sinωx）×（-cosωx-sinωx）+sinωx×2
3
cosωx+λ
=-（cos2ωx-sin2ωx）+
3
sin2ωx+λ
=
3
sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-class="stub"π
6
）+λ
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω-class="stub"π
6
=class="stub"π
2
+kπ，k∈z
∴ω=class="stub"k
2
+class="stub"1
3
，又ω∈（class="stub"1
2
，1）
∴k=1时，ω=class="stub"5
6

∴函数f（x）的最小正周期为class="stub"2π
2×class="stub"5
6
=class="stub"6π
5

（2）∵f（class="stub"π
4
）=0
∴2sin（2×class="stub"5
6
×class="stub"π
4
-class="stub"π
6
）+λ=0
∴λ=-
2

∴f（x）=2sin（class="stub"5
3
x-class="stub"π
6
）-
2

由x∈[0，class="stub"3π
5
]
∴class="stub"5
3
x-class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
]
∴sin（class="stub"5
3
x-class="stub"π
6
）∈[-class="stub"1
2
，1]
∴2sin（class="stub"5
3
x-class="stub"π
6
）-
2
=f（x）∈[-1-
2
，2-
2
]
故函数f（x）在区间[0，class="stub"3π
5
]上的取值范围为[-1-
2
，2-
2
]

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