首页 > 已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若m为整数，且抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的

已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若m为整数，且抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的

题目简介

已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若m为整数，且抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的

题目详情

已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若m为整数，且抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式；
（3）若直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点，求b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：融安县二模

答案

（1）证明：分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x-2=0，∴x=2，方程有实数根；
②当m≠0，则一元二次方程的根的判别式△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=（m+1）2
∴不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根；
综合①、②，可知m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根．

（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．
令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0
由求根公式得，x1=2，x2=class="stub"m-1
m
，
∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．
∵|x1-x2|=2，
∴|2-x2|=2，
∴x2=0或x2=4，∴m=1或m=-class="stub"1
3
（不合题意舍去），
当m=1时，y=x2-2x，
把（2，0）代入，左边=右边，
m=1符合题意，
∴抛物线解析式为y=x2-2x
答：抛物线解析式为y=x2-2x；

（3）①由
y =x2-2x
y=x+b
，
得x2-3x-b=0，
∴△=9+4b，
∵直线y=x+b与抛物线y=x2-2x没有交点，
∴△=9+4b＜0，
∴b＜-class="stub"9
4

∴当b＜-class="stub"9
4
，直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点．

∴b的取值范围是b＜-class="stub"9
4
．
②
y=x+b
y=-class="stub"1
3
x2+2x-class="stub"8
2
，
-class="stub"1
3
x2+2x-class="stub"8
3
=x+b
x2-3x+（8+3b）=0，
∵直线y=x+b与抛物线y=-class="stub"1
3
x2+2x-class="stub"8
3
没有交点，
∴△=（-3）2-4×1×（8+3b）＜0，
b＞-class="stub"23
12
，
即b的取值范围是：b＜-class="stub"9
4
或b＞-class="stub"23
12
．

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