首页 > 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n∈N*).(1)求证：数列为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（3）若数列{bn}满足：b1=,=(n

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n∈N*).(1)求证：数列为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（3）若数列{bn}满足：b1=,=(n

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n∈N*).(1)求证：数列为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（3）若数列{bn}满足：b1=,=(n

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,nan+1=(n+2)Sn (n∈N*).
(1)求证：数列为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（3）若数列{bn}满足：b1=,=(n∈N*),求数列{bn}的通项公式.
题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（1）证明见解析（2）an=(n+1)2n-2(n∈N*)（3） bn=(2n-1) (n∈N*)
（1）证明 将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;
整理得=2×(n∈N*).
又由已知=1,
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）解 由（1）的结论可得=2n-1,∴Sn=n·2n-1，
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=n·2n-1-（n-1）·2n-2=2n-2（n+1）.
由已知，a1=1,又当n=1时，2n-2(n+1)=1,
∴an=(n+1)2n-2(n∈N*).
(3)解 由=(n∈N*),得=+2n-1,
由此式可得=+2n-2,
=+2n-3,
…
=+23-2,
=+22-2.
把以上各等式相加得，
=2n-2+2n-3+…+23-2+22-2+b1.
∵b1=,∴=+,
∴bn=(2n-1) (n∈N*).

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