已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠AP

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已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

题型：解答题难度：偏难来源：浙江省同步题

答案

解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE=45°，PA=，
∴AE=PE=×=1，
∵PB=4，
∴BE=PB﹣PE=3，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB==．
②如图，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．
∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°
∴PP′=PA=2，
∴PD=P′B===；
（2）如图所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=PA=2，PB=4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB=180°﹣∠APP'=135度．

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已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠AP

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