(本小题满分12分)已知不等式为大于2的整数,表示不超过的最大整数.设数列的各项为正,且满足(Ⅰ)证明(Ⅱ)猜测数列是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明);(Ⅲ)试确定一个-高三数学

题目简介

(本小题满分12分)已知不等式为大于2的整数,表示不超过的最大整数.设数列的各项为正,且满足(Ⅰ)证明(Ⅱ)猜测数列是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明);(Ⅲ)试确定一个-高三数学

题目详情

(本小题满分12分)
已知不等式为大于2的整数,表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正,且满足
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)猜测数列是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明);
(Ⅲ)试确定一个正整数N,使得当时,对任意b>0,都有
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)证法1:∵当
 于是有 
所有不等式两边相加可得 
由已知不等式知,当n≥3时有,

证法2:设,首先利用数学归纳法证不等式
(i)当n=3时, 由   知不等式成立.
(ii)假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,即


即当n=k+1时,不等式也成立.由(i)、(ii)知,
又由已知不等式得 
(Ⅱ)有极限,且
(Ⅲ)∵则有
故取N=1024,可使当n>N时,都有

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