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复数z=1-cosθ+isinθ（2π＜θ＜3π）的模为（）A．2cosθ2B．-2cosθ2C．2sinθ2D．-2sinθ2-数学

题目简介

复数z=1-cosθ+isinθ（2π＜θ＜3π）的模为（）A．2cosθ2B．-2cosθ2C．2sinθ2D．-2sinθ2-数学

题目详情

复数z=1-cosθ+isinθ（2π＜θ＜3π）的模为（　　）
A．2cos
θ
2
B．-2cos
θ
2
C．2sin
θ
2
D．-2sin
θ
2
题型：单选题难度：偏易来源：不详

答案

方法一：复数z=1-cosθ+isinθ=1-（1-2sin2class="stub"θ
2
）+i•2sinclass="stub"θ
2
cosclass="stub"θ
2
=2sinclass="stub"θ
2
[cos（class="stub"π
2
-class="stub"θ
2
）+isin（class="stub"π
2
-class="stub"θ
2
）]
=-2sinclass="stub"θ
2
[cos（π+class="stub"π
2
-θ）+isin（π+class="stub"π
2
-θ）]．
∵2π＜θ＜3π，∴π＜class="stub"θ
2
＜class="stub"3π
2
，-π＜class="stub"π
2
-class="stub"θ
2
＜-class="stub"π
2
，∴0＜π+class="stub"π
2
-θ＜class="stub"π
2
，
∴sinclass="stub"θ
2
＜0，-2sinclass="stub"θ
2
＞0，
∴z=1-cosθ+isinθ（2π＜θ＜3π）的模为-sinclass="stub"θ
2
，
故选 D．
方法二：|z|=|1-cosθ+isinθ|=
(1-cosθ)2+sin2θ
=
2-2cosθ
=
4sin2class="stub"θ
2
 
=2|sinclass="stub"θ
2
|，
∵2π＜θ＜3π，∴π＜class="stub"θ
2
＜class="stub"3π
2
，∴sinclass="stub"θ
2
＜0，-2sinclass="stub"θ
2
＞0，
∴|z|=2|sinclass="stub"θ
2
|=-2sinclass="stub"θ
2
．
故选 D．

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