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已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-.（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和

题目简介

已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-.（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和

题目详情

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂,a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-

.
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较

与S_n+1的大小，并说明理由.

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（1）an=2n-1，bn=

（2）n≥4时，

＞Sn+1.

1）由已知得

,
又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2,∴a2=3,a5=9.
∴d=

=

=2，a1=1.∴an="2n-1. " 2分
∵Tn=1-

bn，∴b1=

，
当n≥2时，Tn-1=1-

bn-1,
∴bn=Tn-Tn-1=1-

bn-(1-

bn-1),
化简，得bn=

bn-1,
∴{bn}是首项为

,公比为

的等比数列，
即bn=

·

=

, 4分
∴an=2n-1，bn=

. 5分
(2)∵Sn=

=n2,
∴Sn+1=（n+1）2，

=

. 6分
以下比较

与Sn+1的大小：
当n=1时，

=

，S2=4，∴

＜S2,
当n=2时，

=

,S3=9,∴

＜S3,
当n=3时，

=

,S4=16,∴

＜S4,
当n=4时，

=

,S5=25,∴

＞S5.
猜想：n≥4时，

＞Sn+1. 8分
下面用数学归纳法证明：
①当n=4时，已证.
②假设当n="k" (k∈N*,k≥4)时，

＞Sk+1,即

＞(k+1)2.
那么n=k+1时，

=

=3·

＞3(k+1)2=3k2+6k+3
=(k2+4k+4)+2k2+2k-1＞［(k+1)+1］2
=S(k+1)+1,
∴n=k+1时，

＞Sn+1也成立. 11分
由①②可知n∈N*,n≥4时，

＞Sn+1都成立. 14分
综上所述，当n=1,2,3时，

＜Sn+1,
当n≥4时，

＞Sn+1. 16分

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