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已知：a，b∈R+，n＞1，n∈N*，求证：an+bn2≥(a+b2)n．-数学

题目简介

已知：a，b∈R+，n＞1，n∈N*，求证：an+bn2≥(a+b2)n．-数学

题目详情

已知：a，b∈R+，n＞1，n∈N*，求证：
an+bn
2
≥(
a+b
2
)n．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）当n=2时，左边-右边=
a2+b2
2
-(class="stub"a+b
2
)2=(class="stub"a-b
2
)2≥0，不等式成立．（2分）
（2）假设当n=k（k∈N*，k＞1）时，不等式成立，即
ak+bk
2
≥(class="stub"a+b
2
)k．（4分）
因为a＞0，b＞0，k＞1，k∈N*，
所以（ak+1+bk+1）-（akb+abk）=（ak-bk）（a-b）≥0，于是ak+1+bk+1≥akb+abk．（6分）
当n=k+1时，(class="stub"a+b
2
)k+1=(class="stub"a+b
2
)k•class="stub"a+b
2
≤
ak+1+bk+1
2
•class="stub"a+b
2
=
ak+1+bk+1+akb+abk
4

≤
ak+1+bk+1+ak+1+bk+1
4
=
ak+1+bk+1
2
．
即当n=k+1时，不等式也成立．（9分）
综合（1），（2）知，对于a，b∈R+，n＞1，n∈N*，不等式
an+bn
2
≥(class="stub"a+b
2
)n总成立（11分）．

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