已知函数f（x）=logm1+xx-1（其中m＞0且m≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）当0＜m＜1时，判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并加以证明．-高一数学

题目简介

已知函数f（x）=log_m

1+x

x-1

（其中m＞0且m≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）当0＜m＜1时，判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并加以证明．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）∵f（x）=logmclass="stub"1+x

x-1

，
∴class="stub"1+x

x-1

＞0，
解得-1＜x＜1；
∴函数f（x）的定义域是（-1，1）；
又f（-x）=logmclass="stub"1-x

-x-1

=logmclass="stub"x-1

x+1

=logm(class="stub"1+x

x-1

)-1
=-logmclass="stub"1+x

x-1

=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数；
（2）当0＜m＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
证明如下：设任意的1＜x1＜x2，
∵f（x）=logmclass="stub"1+x

x-1

=logmclass="stub"x-1+2

x-1

=logm（1+class="stub"2

x-1

），
∴0＜x1-1＜x2-1，
∴class="stub"1

x1-1

＞class="stub"1

x2-1

＞0，
∴1+class="stub"2

x1-1

＞1+class="stub"2

x2-1

＞1；
又∵0＜m＜1，
∴logm（1+class="stub"2

x1-1

）＜logm（1+class="stub"2

x2-1

），
即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．