设[x]表示不超过x的最大整数,如[π]=3,[-2.3]=-3.给出下列命题:①对任意实数x,都有x-1<[x]≤x;②对任意实数x,y,都有[x+y]≤[x]+[y];③[lg1]+[lg2]+[

题目简介

设[x]表示不超过x的最大整数,如[π]=3,[-2.3]=-3.给出下列命题:①对任意实数x,都有x-1<[x]≤x;②对任意实数x,y,都有[x+y]≤[x]+[y];③[lg1]+[lg2]+[

题目详情

设[x]表示不超过x的最大整数,如[π]=3,[-2.3]=-3.给出下列命题:
①对任意实数x,都有x-1<[x]≤x;
②对任意实数x,y,都有[x+y]≤[x]+[y];
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90;
④若函数f(x)=[x•[x]],当x∈[0,n)(n∈N*)时,令f(x)的值域为A,记集合A的元素个数为an,则
an+49
n
的最小值为
19
2

其中所有真命题的序号是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

对于①,对任意实数x,都有x-1<[x]≤x,满足新定义,∴①正确.
对于②,对任意实数x,y,例如x=-0.1,y=-0.1,[x+y]=-1,[x]+[y]=-2;都有[x+y]≤[x]+[y];不正确,∴②错误.
对于③,[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg100]
=[lg1]+…+[lg9]+[lg10]+…+[lg99]+[lg100]
=0+1×90+2=92,∴③不正确.
对于④,根据题意:[x]=
0,x∈[0,1)
1,x∈[1,2)
n-1,x∈[n-1,n)

∴x[x]=
0,x∈[0,1)
x,x∈[1,2)
(n-1)x,x∈[n-1,n)

∴[x[x]]在各区间中的元素个数是:1,1,2,3,…,n
∴an=
n(n-1)
2
+1
an+49
n
=class="stub"1
2
n+class="stub"50
n
-class="stub"1
2
,所以当n=10时,最小值为class="stub"19
2

∴④正确.
故答案为:①④.

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