已知a，b，c是正实数，且abc+a+c=b，设p=2a2+1-2b2+1+3c2+1，则p的最大值为______．-数学

题目简介

已知a，b，c是正实数，且abc+a+c=b，设p=

a2+1

b2+1

c2+1

，则p的最大值为______．

题型：填空题难度：中档来源：不详

设a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈（0，class="stub"π

），
则p=2cos2α-2cos2β+3cos2γ=cos2α-cos2β+3cos2γ=2sin（α+β）sin（β-α）+3cos2γ．
由abc+a+c=b得b=class="stub"a+c

1-ac

即tanβ=class="stub"tanα+tanγ

1-tanαtanγ

=tan（α+γ），又α，β，γ∈（0，class="stub"π

），
所以β=α+γ，β-α=γ，p=2sin（α+β）sin（β-α）+3cos2γ=2sin（α+β）sinγ+3cos2γ≤2sinγ+3cos2γ=class="stub"10

-3（sinγ-class="stub"1

）2≤class="stub"10

．
当α+β=class="stub"π

，sinγ=class="stub"1

时取等号．
所以p=class="stub"2

a2+1

-class="stub"2

b2+1

+class="stub"3

c2+1

的最大值为class="stub"10

故答案为：class="stub"10