(本小题满分14分)如图,四棱锥中,底面是直角梯形,,,侧面,△是等边三角形,,,是线段的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求四棱锥的体积;(Ⅲ)求与平面所成角的正弦值.-高三数学

题目简介

(本小题满分14分)如图,四棱锥中,底面是直角梯形,,,侧面,△是等边三角形,,,是线段的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求四棱锥的体积;(Ⅲ)求与平面所成角的正弦值.-高三数学

题目详情

(本小题满分14分)
如图,四棱锥中,底面是直角梯形,侧面,△是等边三角形,是线段的中点.
  
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求四棱锥的体积;
(Ⅲ)求与平面所成角的正弦值.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

(1)略(2)(3)
(Ⅰ)证明:因为侧面平面, 
所以.……………………………………………………………2分
又因为△是等边三角形,是线段的中点,
所以
因为
所以平面.…………………………………………………4分
平面
所以.……………………………………………………………5分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:平面,所以是四棱锥的高.
,可得
因为△是等边三角形,
可求得
所以.………………9分

(Ⅲ)解:以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系


为平面的法向量.
  即
,可得.………………………12分
与平面所成的角为

所以与平面所成角的正弦值为. …………………………………14分

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