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（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：P

题目简介

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：P

题目详情

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

？若存在，求出

的值；若不存在，请说明理由.

题型：填空题难度：偏易来源：不详

答案

在Rt△POA中，因为AP＝

，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以异面直线PB与CD所成的角是

.
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

.
设QD＝x，则

，由（Ⅱ）得CD=OB=

，
在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP,

由Vp-DQC=VQ-PCD,得

2，所以存在点Q满足题意，此时

.
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O为坐标原点，

的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建

立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得
A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以

所以异面直线PB与CD所成的角是arccos

，
(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

，
由(Ⅱ)知

设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
则

所以

即

，
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设

由

，得

解y=-

或y=

(舍去)，
此时

，所以存在点Q满足题意，此时

.

略

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